Mengenalgebra

Lösung der Hausaufgabe

Def. Menge: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohl unterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.

Beschreibung von Mengen:

Alle enthaltenen Elemente werden aufgezählt.
Beispiel: A = {2,4,6,8}

Eine Eigenschaft wird angegeben, die die Elemente erfüllen müssen, um zur Menge zu gehören.
Beispiel: A = {n | n gerade}

Es wird unendlich aufgezählt.
Beispiel: A = {2,4,8, ...}

Def. Teilmenge
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Schreibweise: AB

Def. Leere Menge
Eine Menge heißt Leere Menge, wenn die Menge keine Elemente enthält. Schreibweise: oder {}

Bezeichnungen

		andere Schreibweise
x A	x ist Element der Menge A.
x A	x ist nicht Element der Menge A.
A B	A ist Teilmenge von B	x A x B
AB	A ist echte Teilmenge von B	A B A B
A = B	Mengengleichheit	x A x B
{}	Menge von leerer Menge als Element
|A|	Kardinalität - Anzahl der Elemente einer endlichen Menge

Definition

A B	Vereinigungsmenge von A und B
A B	Schnittmenge von A und B
A \ B	Differenzmenge A - B
_ A	Komplement (Negation der Aussage) von A
A B	symmetrische Differenz von A und B
	Potenzmenge von A (Menge. deren Elemente selbst Mengen sind)

Gesetze	Venn-Diagramme
Kommutativgesetze			A B = B A
Assoziativgesetze			(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)
Distributivgesetze			A (B C) = (A B) (A C) A  (B C) = (A B) (A C)
Gesetze für das Komplement			A A = {}
Gesetze von DeMorgan			_____    _     _ A B = A B _____    _     _ A B = A B
Idempotenzgesetze			A A = A

In der folgenden Tabellewerden Mengenalgebra und Aussagenalgebra gegenübergestellt:

Boolesche Algebra	Mengenalgebra		Aussagenalgebra	Schaltalgebra
V		Potenzmenge		{0,1}	Wahrheitswerte
*	Durchschnitt	Schnittmenge	Konjunktion		Konjunktion
+	Vereinigung	Vereinigungsmenge	Disjunkion		Disjunktion
-1	Komplement ¯¯	Komplementärmenge	Negation		Negation
e	T	Trägermenge		1	Wahr (True)
n		Leere Menge	Kontradiktion	0	Falsch (False)
	Teilmengenrelation A B		ImplikationsaussageA B
	Gleichheitsrelation A = B		Äquivalenzaussage A B

a) AB