Mengenalgebra

Lösung der Hausaufgabe

Def. Menge: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohl unterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.

Beschreibung von Mengen:

Alle enthaltenen Elemente werden aufgezählt.
Beispiel: A = {2,4,6,8}

Eine Eigenschaft wird angegeben, die die Elemente erfüllen müssen, um zur Menge zu gehören.
Beispiel: A = {n | n gerade}

Es wird unendlich aufgezählt.
Beispiel: A = {2,4,8, ...}

Def. Teilmenge
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Schreibweise:
AB

Def. Leere Menge
Eine Menge heißt Leere Menge, wenn die Menge keine Elemente enthält. Schreibweise: oder
{}

Bezeichnungen

    andere Schreibweise
x A x ist Element der Menge A.  
x A x ist nicht Element der Menge A.  
A B A ist Teilmenge von B x A x B
AB A ist echte Teilmenge von B A B A B
A = B Mengengleichheit x A x B
{} Menge von leerer Menge als Element  
|A| Kardinalität - Anzahl der Elemente einer endlichen Menge  

Definition


A B
Vereinigungsmenge von A und B

A B
Schnittmenge von A und B

A \ B  
Differenzmenge A - B

_
A

Komplement (Negation der Aussage) von A  


A B

symmetrische Differenz von A und B  


Potenzmenge von A (Menge. deren Elemente selbst Mengen sind)  

Gesetze
Venn-Diagramme
 
Kommutativgesetze   A B = B A
Assoziativgesetze  

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

Distributivgesetze

A (B C) = (A B) (A C)

(B C) = (A B) (A C)

Gesetze für das Komplement   A A = {}
Gesetze von DeMorgan   _____    _     _
A B = A B
_____    _     _
A B = A B
Idempotenzgesetze     A A = A

In der folgenden Tabellewerden Mengenalgebra und Aussagenalgebra gegenübergestellt:

Boolesche Algebra Mengenalgebra   Aussagenalgebra Schaltalgebra  
V Potenzmenge {0,1} Wahrheitswerte
* Durchschnitt tex2html_wrap_inline2621 Schnittmenge Konjunktion tex2html_wrap_inline2721   Konjunktion
+ Vereinigung tex2html_wrap_inline2623 Vereinigungsmenge Disjunkion tex2html_wrap_inline2719   Disjunktion
-1 Komplement ¯¯ Komplementärmenge Negation tex2html_wrap_inline2723   Negation
e T Trägermenge   1 Wahr (True)
n tex2html_wrap_inline2759 Leere Menge Kontradiktion 0 Falsch (False)
  Teilmengenrelation A B   ImplikationsaussageA B
  Gleichheitsrelation A = B   Äquivalenzaussage A B

a) AB

Lösung der Hausaufgabe